La dérivée est un concept fondamental en mathématiques, particulièrement en calcul différentiel. Elle décrit comment une fonction change en fonction de sa variable indépendante. En termes simples, elle représente la pente de la tangente à la courbe d’une fonction en un point donné. La dérivée mesure la sensibilité d’une fonction à un changement dans sa variable d’entrée, ce qui est crucial dans divers domaines tels que la physique, l’économie et l’ingénierie.
Exemples de dérivées :
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Dérivée de base :
Pour la fonction ( f(x) = x^2 ), la dérivée est ( f'(x) = 2x ). -
Fonction constante :
Pour ( f(x) = 5 ), la dérivée est ( f'(x) = 0 ) car une constante ne change pas. -
Exposants :
Pour ( f(x) = x^n ), la dérivée est ( f'(x) = nx^{n-1} ). -
Fonction linéaire :
Pour ( f(x) = 3x + 2 ), la dérivée est ( f'(x) = 3 ). -
Produit :
Si ( f(x) = x cdot sin(x) ), la dérivée est ( f'(x) = x cdot cos(x) + sin(x) ). -
Composition de fonctions :
Pour ( f(x) = sin(x^2) ), la dérivée est ( f'(x) = 2x cdot cos(x^2) ).
Ces exemples illustrent comment calculer la dérivée de différentes fonctions, montrant leur application et leur importance dans l’analyse des variations et des comportements des fonctions.
